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7.有限集合S中所有的元素的乘积称为数集S的“积数”,若集合M={$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$…,$\frac{1}{99}$,$\frac{1}{100}$}.
(1)试求M的所有子集的“积数”之和;
(2)试求M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和.

分析 令f(x)=(x+$\frac{1}{2}$)(x+$\frac{1}{3}$)(x+$\frac{1}{4}$)…(x+$\frac{1}{99}$)(x+$\frac{1}{100}$),
(1)则集合M={$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$…,$\frac{1}{99}$,$\frac{1}{100}$}所有子集的“积数”之和即f(x)展开式中所有项数之和T-1,
(2)M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和,即f(x)展开式中所有偶次项数之和S.

解答 解:(1)令f(x)=(x+$\frac{1}{2}$)(x+$\frac{1}{3}$)(x+$\frac{1}{4}$)…(x+$\frac{1}{99}$)(x+$\frac{1}{100}$),
则集合M={$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$…,$\frac{1}{99}$,$\frac{1}{100}$}所有子集的“积数”之和即f(x)展开式中所有项数之和T-1,
令x=1,则T=$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$•$\frac{5}{4}$•…•$\frac{100}{99}$•$\frac{101}{100}$=$\frac{101}{2}$,
∵$\frac{101}{2}$-1=$\frac{99}{2}$,
∴M的所有子集的“积数”之和为$\frac{99}{2}$,
(2)M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和,
即f(x)展开式中所有偶次项数之和S,
令x=1,则T=(-$\frac{1}{2}$)•(-$\frac{2}{3}$)•(-$\frac{3}{4}$)•…•(-$\frac{98}{99}$)•(-$\frac{99}{100}$)=-$\frac{1}{100}$,
由$\frac{\frac{101}{2}-\frac{1}{100}}{2}$=$\frac{5049}{200}$得;
M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为$\frac{5049}{200}$.

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判定,函数展开式的系数问题,转化困难,属于难题.

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