Question

【题目】已知函数 （a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 （a＞0，a≠1）是奇函数．

∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．

（2）解：由（1）及题设知： ，

设 ，

∴当x1＞x2＞1时，

∴t1＜t2．

当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．

同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（3）解：由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），

∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知 （无解）；

②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知

得 ，n=1

【解析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）=0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解对数函数的单调性与特殊点的相关知识，掌握过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数．