Question

（2012•太原模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（1）求证：平面BDE⊥平面SAC
（2）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证平面BDE⊥平面SAC，可以通过BD⊥面SAC实现．而后者可由BD⊥SO，BD⊥AC易证得出．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S-ABCD的底面边长为2，CE=a（0＜a＜2），利用平面BDE的法向量与平面SAC的法向量夹角，与二面角E-BD-C的大小关系，得出关于a的方程并解出即可．

解答：（本小题满分12分）
（1）证明：由已知可得，SB=SD，O是BD的中点，
所以BD⊥SO                  （2分）
又因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，（3分）
因为AC∩SO=O，所以BD⊥面SAC．（4分）
又因为BD?面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．（5分）
（2）解：易证，SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．（7分）
设四棱锥S-ABCD的底面边长为2，
则O（0，0，0），S（0，0，

2

），B（0，

2

，0），D（0，-

2

，0）．
所以

BD

=（0，-2

2

，0），
设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°，
则E（-

2

+

2 a

2

，0，

2 a

2

），

BE

=（-

2

+

2 a

2

，-

2

，

2 a

2

）．
设平面BDE的法向量为n=（x，y，z），则

n• BD =0 n• BE =0

即

y=0 (- 2 + 2 2 a)x- 2 y+ 2 2 az=0

令z=1，得n=（

a

2-a

，0，1），（9分）
因为SO⊥底面ABCD，所以

OS

=（0，0，

2

）是平面SAC的一个法向量，（10分）
因为二面量角E-BD-C的大小为45°，
所以

2

( a 2-a )2+1 • 2

=

2

2

，解得a=1，
所以点E是SC的中点．（12分）

点评：本题考查空间直线、平面垂直关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．