Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，若向量2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，求k．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，结合2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，数量积为0列式求得k值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{3}=2×1×\frac{1}{2}=1$，
∵2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+k{\overrightarrow{b}}^{2}=0$，
解得：k=-5．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了两个向量垂直与数量积间的关系，是基础题．