Question

已知一扇形的面积S为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：设出半径和圆心角，根据扇形的面积公式写出θ的表示式，根据扇形的周长包括两个半径和一个弧长，把角的表示式代入，利用基本不等式得到最小值，并求出取到最小值时的圆心角．

解答：解：设半径是r，圆心角是θ
则S=

1

2

r2θ
θ=

2s

r2

周长=2r+rθ=2r+

2s

r

≥4

s

当2r=

2s

r

即r²=S时取等号，此时θ=

2s

r2

=2
∴当扇形的圆心角为2rad时，
它的周长最小，最小值是4

S

．

点评：本题考查扇形的面积公式，考查利用基本不等式求函数的最小值，考查扇形的面积，扇形的弧长和扇形的圆心角之间的关系，是一个综合题目．