Question

已知函数的图象是自原点出发的一条折线．当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义．  求：

求和的表达式；

求的表达式，并写出其定义域；

 证明：的图像与的图象没有横坐标大于1的交点．

Answer 1

【小题1】依题意，又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由得

又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由

，即得

记由函数的图象中第段线段的斜率为，故得

又

∴

由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为

因，得 

即

【小题2】当时，从（1）可知，即当时，

当时，即当时，由（1）可知

为求函数的定义域，须对进行讨论．

当时，

时，，也趋向于无穷大．

综上，当时，的定义域为

当时，的定义域为

【小题3】证法1  首先证明当时，恒有成立．

对任意的，存在使，此时有

又

即有成立．

其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有成立．

故函数的图象与的图象没有横会标大于1的交点．

解析:

本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．

【小题1】由斜率分式求出，同样由斜率公式求出关于的递推式，然后求出，

【小题2】由点斜式求出段的的表达式，用极限的方法求出定义域．

【小题3】与没有交点，只要时，或时恒成立，当，由于，只要证