Question

如图：是⊙的直径，是弧的中点，⊥，垂足为，交于点.

（1）求证：=;
（2）若=4，⊙的半径为6，求的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）要证，只要证，一种方法这两个角能否放在一对全等三角形中，为此我们连接交于，由圆的性质知，这里就有，要证的角对应相等了，当然也可以证明RtΔCEO≌RtΔBMO，从而，也能得到，由于在圆中.我们还可以交圆于点，可得到到，那么等弧所对的圆周角相等，结论得证；（2）由（1）可知，下面在中可求得，在中可求得.
试题解析：（1）证法一:连接CO交BD于点M，如图1   1分
∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO     2分
∴∠OCE=∠OBM              3分
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC        4分
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF           5分

证法二：延长CE交圆O于点N，连接BN，如图2  1分
∵AB是直径且CN⊥AB于点E
∴∠NCB=∠CNB              2分
又∵弧CD=弧BC,∴∠CBD=∠CNB   3分
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF             4分

∴CF=BF                5分
（2）∵O,M分别为AB,BD的中点
∴OM=2=OE
∴EB=4                            7分
在Rt△COE中，            9分
∴在Rt△CEB中，           10分