Question

如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．
求：（1）与所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量所成的角；
（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，根据条件建立方程组，求出n，设所求距离为d，利用d=|•n|进行求解即可．
解答：解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（，0，）、
Q（，，0）．
（1）∴=（-，0，），=（，-，-a），•
=（-）×+0+×（-a）=-a²，且||=a，||=a．
∴cos＜，＞===-．
故得两向量所成的角为150°．
（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1，n⊥平面EFB，
∴n⊥，n⊥．又=（-a，a，0），=（0，a，-a），即有得其中的一组解，
∴n=（，，），=（，0，）．
设所求距离为d，则d=|•n|=a．
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．