Question

8．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a²+b²-c²=ab．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=5，c=7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a²+b²-c²=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可求sinB，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由a²+b²-c²=ab，
根据余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），所以C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵C=$\frac{π}{3}$，a=5，c=7，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，可求cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{11}{14}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{11}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×7×$$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了整体代换的数学思想，是一道综合题．