Question

【题目】对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0 ， 则称x0为函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f[f（x0）]=x0 ， 则称x0为函数f（x）的二阶不动点，
（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点．
（2）若f（x）是定义在区间D上的增函数，且x0为函数f（x）的二阶不动点，求证：x0也必是函数f（x）的一阶不动点；
（3）设f（x）=ex+x+a，a∈R，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0 ， 求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=2（2x+3）+3=4x+9，

由f[f（x）]=x，得4x+9=x，解得x=﹣3，

∴函数f（x）=2x+3的二阶不动点为x=﹣3

（2）证明：∵x0是函数f（x）的二阶不动点，

∴f[f（x0]=x0，

记f（x0）=t，则f（t）=x0，

若t＜x0，则由f（x）在区间D上为增函数，

有f（t）＜f（x0），即x0＜t，这与假设t＜x0相矛盾；

若t＞x0，则由f（x）在区间D上为增函数，

有f（t）＞f（x0），即x0＞t，这与假设t＞x0相矛盾；

∴t=x0，即f（x0）=x0，

∴x0是函数f（x）的一阶不动点，命题得证

（3）解：函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，

则由（2）可知，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0，

则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点x0；

反之，若f（x）在[0，1]上存在一阶不动点x0，即f（x0）=x0，

那么f[f（x0]=f（x0）=x0，故f（x）在[0，1]上也存在二阶不动点x0．

所以函数f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0等价于f（x）=x在[0，1]上有解，

即方程ex+x+a=x在[0，1]上有解，

∴a=﹣ex在[0，1]上有解，

由x∈[0，1]可得ex∈[1，e]，∴﹣ex∈[﹣e，﹣1]，

∴a的取值范围是[﹣e，﹣1]．

【解析】（1）若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=4x+9，由f[f（x）]=x，能求出函数f（x）=2x+3的二阶不动点．（2）由题意f[f（x0]=x0 ， 记f（x0）=t，则f（t）=x0 ， 若t＜x0 ， 与假设t＜x0相矛盾；若t＞x0 ， 与假设t＞x0相矛盾；从而f（x0）=x0 ， 由此能证明x0也必是函数f（x）的一阶不动点．（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0 ， 则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点x0；推导出方程ex+x+a=x在[0，1]上有解，由此能出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．