Question

【题目】已知函数f（x）满足f（x+1）= ，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为2的函数， x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x
f（x）是周期为2的函数 f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]时，
函数解析式：y=x﹣2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，
故在四段内各有一个零点．
x在[﹣1，0），g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0，∴x=﹣
∴﹣1≤﹣ ＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴0＜ ≤1 解的0＜k≤
x在（1，2]，g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴1＜ ≤2，解的0≤k＜
x在（2，3]，g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴2＜ ≤3，解的0＜k≤
综上可知，k的取值范围为：0＜k≤
所以答案是：（0， ]．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇，以及对函数的零点与方程根的关系的理解，了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．