Question

7．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x-2y=0上，且被x轴的正半轴截得的弦长为2$\sqrt{3}$．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上，x²+y²-4y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由圆心在直线x-2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（2）确定出圆心及半径，求出圆心C到（0，2）的距离d，根据d+r为圆上点到（0，2）距离的最大值，d-r为圆上的点到（0，2）距离的最小值，根据求出的最值平方即可得到x²+y²-4y的取值范围．

解答 解：（1）设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，
∵圆C截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，
∴t²+3=4t²，
∴t=±1，
∵圆C与y轴的正半轴相切，
∴t=-1不符合题意，舍去，
故t=1，2t=2，
∴（x-2）²+（y-1）²=4．
（2）x²+y²-4y=x²+（y-2）²，
P（x，y）为圆C上的动点，
∴x²+y²-4y的表示圆上的点P到（0，2）距离的平方再减4，
∵圆心C到原点的距离d=$\sqrt{5}$，圆的半径r=2，
∴圆上的点到（0，2）距离的最大值为d+r=$\sqrt{5}$+2，最小值为d-r=$\sqrt{5}$-2，
则x²+y²-4y的范围是[（$\sqrt{5}$-2）²，4，（$\sqrt{5}$+2）²-4]，即[5-4$\sqrt{5}$，5+4$\sqrt{5}$]．

点评 此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式，考查了圆的标准方程，两点间的距离公式．其中x²+y²-4y的表示圆上的点P到（0，2）距离的平方，进而根据题意得出圆上的点到（0，2）距离的最大值为d+r及最小值为d-r是解本题的关键．