(本小题满分12分)直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.
(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;
(Ⅱ)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;
(Ⅲ)当时,求二面角的余弦值.
18.(Ⅰ)证明:在△ABC中,因为 AB=5,AC=4,BC=3,
所以 AC2+ BC2= AB2, 所以 AC⊥BC.
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC.
因为 BC∩AC =C,所以 AC⊥平面B B1C1C.
所以 AC⊥B1C. …………4分
(Ⅱ)证明:连结BC1,交B1C于E,连接DE.
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,所以 侧面B B1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线,
所以 DE// AC1.因为 DE平面B1CD, AC1平面B1CD,所以 AC1∥平面B1CD.........8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知AC⊥BC,如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4).
设D (a, b, 0)(,),
因为 点D在线段AB上,且,即.
所以,,,, ,.
平面BCD的法向量为. 设平面B1 CD的法向量为,
由 ,, 得 ,
所以 ,,.所以 .
所以二面角的余弦值为. ……………12分
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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