Question

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．若动点M满足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

Answer 1

分析：由题意知F₁（-2，0），F₂（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，，

F1O

=(2，0)，由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

得

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，AB的中点坐标(

x-4

2

，

y

2

)．当AB不垂直于x轴时

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-y 2 -2

=

y

x-8

，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线x²-y²=2上，知（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，由此可知点M的轨迹方程是（x-6）²-y²=4．

解答：解：由题意知F₁（-2，0），F₂（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，

F1O

=(2，0)，
由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

得

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，
∴AB的中点坐标(

x-4

2

，

y

2

)．
当AB不垂直于x轴时，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-y 2 -2

=

y

x-8

，①
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线x²-y²=2上，
∴x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
∴（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，②
由①②联立，知（x-6）²-y²=4．
当AB垂直于x轴时，x₁=x₂=2，求得M（8，0）也满足上求方程，
∴点M的轨迹方程是（x-6）²-y²=4．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．