Question

（14分）如图，已知抛物线C₁： y=x², 与圆C₂： x²+(y+1)²="1," 过y轴上一点A（0, a）（a>0）作圆C₂的切线AD，切点为D（x₀, y₀）.

（1）证明：(a+1)(y₀+1)=1

（2）若切线AD交抛物线C₁于E，且E为AD的中点，求点A纵坐标a.

 

Answer 1

【答案】

（1）过D（x₀, y₀）的切线方程x₀x+(y₀+1)(y+1)=1  (*)

由（*）过点A（0, a）， 将点A坐标代入（*）得(y₀+1)(a+1)=1（2）

【解析】

试题分析：（1）过D（x₀, y₀）的切线方程x₀x+(y₀+1)(y+1)=1  (*)

由（*）过点A（0, a）， 将点A坐标代入（*）得(y₀+1)(a+1)="1," 即证

（2）由于D（x₀, y₀）,A(0， a) ∴AD的中点E（）点E在抛物线y=x²上

∴ 

联立消去x₀, y₀得2a³+a²－2a=0   即a(2a²+a－2)=0(a>0)

解得：a=

考点：直线与圆相切，直线与抛物线相交的位置关系

点评：第一问还可先由A,D两点写出直线方程，然后利用圆心到直线距离等于圆的半径列关系式整理化简