Question

已知向量

a

=（mcosθ，-

2

），

b

=（1，

2

2

n+sinθ）且

a

⊥

b

（1）若m=

2

，n=1，求sin（θ-

π

4

）的值；
（2）m=

2

且θ∈（0，

π

2

），求实数n的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）运用数量积的运算结合三角函数求解．（2）得到：n=

2

（cosθ-sinθ）=2cos（θ+

π

4

），θ∈(0，

π

2

)根据三角函数的图象求解可得．

解答： 解：∵

a

⊥

b

，

a

•

b

=0，
∴mcosθ-

2

（

2

2

n+sinθ）=0，
即mcosθ-n-

2

sinθ=0；
（1）∵m=

2

，n=1，
∴

2

cosθ-

2

sinθ-1=0即

2

cosθ-

2

sinθ=1∴sin（θ-

π

4

）=-

1

2

，
（2）∵m=

2

，∴

2

cosθ-n-

2

sinθ=0，
∴n=

2

（cosθ-sinθ）=2cos（θ+

π

4

），θ∈(0，

π

2

)．
∵θ∈(0，

π

2

)，∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜cos(θ-

π

4

)＜

2

2

，
∴-

2

＜n＜

2

．

点评：本题综合考察了三角函数与向量的数量积的运算，利用三角公式转化求解，难度不大．