Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4
（1）求证AC⊥BC₁
（2）在AB上是否存在点D使得AC₁⊥CD
（3）在AB上是否存在点D使得AC₁∥平面CDB₁？

Answer 1

分析 （1）以C为坐标原点，直线CA、CB、CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BC．
（2）假设在AB上存在点D，使得AC₁⊥CD，则$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$=（-3λ，4λ，0），利用向量法能求出在AB上存在点D，使得AC₁⊥CD，这时点D与点B重合．
（3）假设在AB上存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，利用向量法能求出在AB上存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，且D是AB的中点．

解答 证明：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，AC、BC、CC₁两两垂直，
以C为坐标原点，直线CA、CB、CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，4），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4），
∵$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，4），∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{B{C}_{1}}$，∴AC⊥BC．
解：（2）假设在AB上存在点D，使得AC₁⊥CD，
则$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，
于是$\overrightarrow{CD}$=（3-3λ，4λ，0），则D（3-3λ，4λ，0），由于$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），且AC₁⊥CD，
∴-9+9λ=0，得λ=1，∴在AB上存在点D，使得AC₁⊥CD，这时点D与点B重合．
（3）假设在AB上存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，
则$\overrightarrow{AD}$=$λ\overrightarrow{AB}$=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，
则D（3-3λ，4λ，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（3-3λ，4λ-4，-4），
又$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-4，-4），由于$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），AC₁∥平面CDB₁，
∴存在实数m，n，使$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=m$\overrightarrow{{B}_{1}D}$+n$\overrightarrow{{B}_{1}C}$成立，
∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，
∴$λ=\frac{1}{2}$，∴在AB上存在点D，使得AC₁∥平面CDB₁，且D是AB的中点．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．