Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣ax，g（x）= x2﹣lnx﹣ ．
（1）若f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；
（2）对于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设G（x）= x2﹣ ﹣g（x），求证：G（x）＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g′（x）=x﹣ = ，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增．∴g（x）极小值=g（1）=﹣2

又∵f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，

∴f（1）=1﹣a=﹣2，即a=3

（2）解：若使对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，则只需使得不等式 恒成立，即只需

设 ，则 ，

∴当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0，则t（x）单调递增．

∴t（x）最小值=t（1）=4，

∴a≤4，即a的取值范围为（﹣∞，4]

（3）解：若证 ，则只需证明 ，即证

设m（x）=xlnx，则m'（x）=lnx+1，由于m（x）在 单调递减，在 单调递增，所以 ；设 ，则 ，由于n（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以 ．

所以m（x）≥n（x）又由于m（x）与n（x）不在同一个变量时取得最值，即m（x）＞n（x）

综上所述，

【解析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的极小值，然后列出方程求解a 即可．（2）使对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，转化为 恒成立，只需 ，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，推出a的范围即可．（3）若证 ，则只需证明 ，即证 ，构造函数设m（x）=xlnx，利用函数的单调性求解函数的极值，推出结果即可．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．