Question

已知命题“对于任意x∈R，x²+ax+1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由命题“对于任意x∈R，x²+ax+1≥0”是假命题，可得其否定命题“存在x∈R，x²+ax+1＜0”为真命题，结合二次函数的图象和性质，可求出实数a的取值范围
解答：解：命题“对于任意x∈R，x²+ax+1≥0”的否定形式为：
“存在x∈R，x²+ax+1＜0”．（2分）
因为命题“对于任意x∈R，x²+ax+1≥0”是假命题，
所以命题“存在x∈R，x²+ax+1＜0”为真命题（3分）
由于函数f（x）=x²+ax+1是开口向上的抛物线，由二次函数的图象易知：
△=a²-4＞0，（5分）
解得：a＜-2或a＞2（7分）
所以实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．（8分）
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了全称命题的否定，及二次不等式恒成立问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．