Question

1．设α是三角形的一个内角，且sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos（$α-\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α-1的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简条件可得tanα=-$\sqrt{3}$，求得α的值，可得tan2α 的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos（$α-\frac{π}{6}$），∴2sinαcos$\frac{π}{3}$+2cosαsin$\frac{π}{3}$=cosαcos$\frac{π}{6}$+sinαsin$\frac{π}{6}$，
化简可得sinα+$\sqrt{3}$cosα=0，即tanα=-$\sqrt{3}$．
又α是三角形的一个内角，可得α=$\frac{2π}{3}$，故tan2α=tan$\frac{4π}{3}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α-1=2sin2xcos$\frac{4π}{3}$+cos2xsin$\frac{4π}{3}$-1
=-sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-1=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin（2x+θ）-1，故当sin（2x+θ）=-1时，f（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．