分析 (Ⅰ)化简条件可得tanα=-$\sqrt{3}$,求得α的值,可得tan2α 的值.
(Ⅱ)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的值域求得它的最大值.
解答 解:(Ⅰ)∵sin($α+\frac{π}{3}$)=$\frac{1}{2}$cos($α-\frac{π}{6}$),∴2sinαcos$\frac{π}{3}$+2cosαsin$\frac{π}{3}$=cosαcos$\frac{π}{6}$+sinαsin$\frac{π}{6}$,
化简可得sinα+$\sqrt{3}$cosα=0,即tanα=-$\sqrt{3}$.
又α是三角形的一个内角,可得α=$\frac{2π}{3}$,故tan2α=tan$\frac{4π}{3}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$.
(Ⅱ)求函数f(x)=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α-1=2sin2xcos$\frac{4π}{3}$+cos2xsin$\frac{4π}{3}$-1
=-sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-1=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin(2x+θ)-1,故当sin(2x+θ)=-1时,f(x)取得最大值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1.
点评 本题主要考查三角恒等变换,根据三角函数的值求角,正弦函数的值域,属于中档题.
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学生的编号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
数学成绩x | 80 | 75 | 70 | 65 | 60 |
物理成绩y | 70 | 66 | 68 | 64 | 62 |
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A. | sin156°<0 | B. | $tan(-\frac{11}{6}π)>0$ | C. | sin1480°<0 | D. | cos(-250°)>0 |
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