Question

（2013•江西）过点（

2

，0）引直线l与曲线y=

1-x2

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（　　）

• A．

  3

  3

• B．-

  3

  3

• C．±

  3

  3

• D．-

  3

Answer 1

分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．

解答：解：由y=

1-x2

，得x²+y²=1（y≥0）．
所以曲线y=

1-x2

表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），
设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，
则-1＜k＜0，直线l的方程为y-0=k(x-

2

)，即kx-y-

2

k=0．
则原点O到l的距离d=

- 2 k

k2+1

，l被半圆截得的半弦长为

1-( - 2 k k2+1 )2

=

1-k2 k2+1

．
则S△ABO=

- 2 k

k2+1

•

1-k2 k2+1

=

2k2(1-k2) (k2+1)2

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

- 4 (k2+1)2 + 6 k2+1 -2

．
令

1

k2+1

=t，则S△ABO=

-4t2+6t-2

，当t=

3

4

，即

1

k2+1

=

3

4

时，S_△ABO有最大值为

1

2

．
此时由

1

k2+1

=

3

4

，解得k=-

3

3

．
故答案为B．

点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．