Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）；      
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．
（2）对函数进行配方，结合二次函数在[-1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b
∴由题意得 $\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{2ax+a+b=2x}\end{array}\right.$恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，得  $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在[-1，$\frac{1}{2}$]单调递减，在[$\frac{1}{2}$，1]单调递增
∴f（x）min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（-1）=3．

点评 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．