Question

2．已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=-1，y=1可得f（0）；
（2）令y=0，可得f（x）；
（3）g（x）=f（x）-ax=x²+（1-a）x-2，根据二次函数对称轴及单调性可得．

解答 解：（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2…（4分）
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2∴f（x）=x²+x-2…（8分）
（3）g（x）=f（x）-ax=x²+（1-a）x-2
又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有$\frac{a-1}{2}≤-2，或\frac{a-1}{2}≥2$
所以a的范围为a≤-3或a≥5…（12分）

点评 本题考查了抽象函数的赋值法、及二次函数的单调性．属于中档题．