Question

△ABC中角A，B，C所对边分别为a，b，c且1-cos2A-cos2B+cos2C=2

3

sinAsinB
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若A∈（0，

2π

3

]，求y=2cos²

A

2

-sinB-1的值域．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简式子，利用正弦定理化为关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C；
（2）根据（1）求出的C的度数，由三角形的内角和定理，由B表示出A，由A的范围求出B的范围，把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，根据B的范围求出B+

π

3

的范围，利用正弦函数的值域即可求出函数的值域．

解答： 解：（1）由题意得，1-cos2A-cos2B+cos2C=2

3

sinAsinB，
则1-（1-2sin²A）-（1-2sin²B）+1-2sin²C=2

3

sinAsinB，
即2sin²A+2sin²B-2sin²C=2

3

sinAsinB
由正弦定理可得：2a²+2b²-2c²=2

3

ab
整理得：a²+b²-c²=

3

ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
又0＜C＜π，则C=

π

6

；
（2）由（1）得A+B=π-C=

5π

6

，则A=

5π

6

-B，
由A∈（0，

2π

3

]得，0＜

5π

6

-B≤

2π

3

，

π

6

≤B＜

5π

6

，
所以y=2cos²

A

2

-sinB-1=cosA-sinB-1=cos（

5π

6

-B）-sinB-1
=cos

5π

6

cosB+sin

5π

6

sinB-sinB-1=-

3

2

cosB-

1

2

sinB-1
=-sin(B+

π

3

)-1，
由

π

6

≤B＜

5π

6

得，

π

2

≤B+

π

3

＜

7π

6

，
所以-

1

2

＜sin(B+

π

3

)≤1，即-2≤-sin(B+

π

3

)-1＜-

1

2

，
故所求的函数的值域是：[-2，-

1

2

）．

点评：本题考查正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式，及特殊角的三角函数值，正弦函数的值域，注意角的范围的确定，属于中档题．