Question

设a_n=-2n+21，则数列{a_n}从首项到第几项的和最大（　　）

• A、第10项
• B、第11项
• C、第10项或11项
• D、第12项

Answer 1

分析：方法一：由a_n，令n=1求出数列的首项，利用a_n-a_n-1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=-

b

2a

时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；
方法二：令a_n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．

解答：解：方法一：由a_n=-2n+21，得到首项a₁=-2+21=19，a_n-1=-2（n-1）+21=-2n+23，
则a_n-a_n-1=（-2n+21）-（-2n+23）=-2，（n＞1，n∈N⁺），
所以此数列是首项为19，公差为-2的等差数列，
则S_n=19n+

n(n-1)

2

•（-2）=-n²+20n，为开口向下的抛物线，
当n=-

20

2×(-1)

=10时，S_n最大．
所以数列{a_n}从首项到第10项和最大．
方法二：令a_n=-2n+21≥0，
解得n≤

21

2

，因为n取正整数，所以n的最大值为10，
所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，
则数列{a_n}从首项到第10项的和最大．
故选A

点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值；也可以直接令a_n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．