Question

已知数列{a_n}（n∈N^*），其前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①若{a_n}是等差数列，则三点(10，

S10

10

)、(100，

S100

100

)、(110，

S110

110

)共线；
②若{a_n}是等差数列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，则S₁、S₂、…、S_n这n个数中必然存在一个最大者；
③若{a_n}是等比数列，则S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比数列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则{a_n}是等比数列．
其中正确命题的序号是

①④

．（将你认为的正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①利用第1和2点的坐标表示出确定直线的斜率，利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率；然后再利用第3和2点的坐标表示出确定直线的斜率，利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率，判断求得的斜率相等与否，即可得到三点共线与否；
②若{a_n}是等差数列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，求出数列的公差，即可判断S₁、S₂、…、S_n这n个数中是否存在一个最大者；
③若{a_n}是等比数列，利用等比数列前n项和公式，求出S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）即可判断是否是等比数列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），转化为数列的前n项和公式，即可判断{a_n}是不是等比数列．

解答：解：①因为

S10

10

=

10a1+ 10×9 2 d

10

=a₁+

9

2

d，同理

S100

100

=a₁+

99

2

d，

S110

110

=a₁+

109

2

d，
则

S100 100 - S10 10

100-10

=

(a1+ 99 2 d)-(a1+ 9 2 d)

90

=

d

2

=

S110 110 - S100 100

110-100

=

(a1+ 109 2 d)-(a1+ 99 2 d)

10

=

d

2

，
所以三点(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线．此选项正确；
②若{a_n}是等差数列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，所以a₁+2d+a₁+6d=-6，解得d=2，所以数列是递增数列，则S₁、S₂、…、S_n这n个数中不存在一个最大者；②不正确；
③若{a_n}是等比数列，则S_m=

a1(1-qm)

1-q

；
S_2m-S_m=

a1(1-q2m)

1-q

-

a1(1-qm)

1-q

=

a1(qm-q2m)

1-q

；
S_3m-S_2m=

a1(1-q3m)

1-q

-

a1(1-q2m)

1-q

=

a1(q2m-q3m)

1-q

；
因为[

a1(qm-q2m)

1-q

]2=

a1(1-qm)

1-q

•

a1(q2m-q3m)

1-q

，
所以S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比数列，
当公比q=-1，且m为偶数时，该命题错误．
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），如果数列是等比数列，设公比为q，则S_n+a_n+1=a₁+qS_n∴S_n（1-q）=a₁-a_n+1=a₁（1-qⁿ），显然数列{a_n}是等比数列．正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查等差数列、等比数列的基本性质，通过对数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．