Question

已知f（x）=log_a

x+2

x+1

（a＞0且a≠1）．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若a＞1，求f（x）的单调区间并指出增减性；
（3）若a=2，且x∈[-

15

7

，-2）∪（-1，0]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论a的取值，然后求解；
（2）根据复合函数的单调性的判断方法进行判断；
（3）根据复合函数的方法求值域．

解答： 解：（1）当a＞1时，原不等式可化为：

x+2

x+1

＞1，
∴f（x）＞0的解集是（-1，+∞）；
当0＜a＜1时，原不等式可化为：0＜

x+2

x+1

＜1，
∴f（x）＞0的解集是（-∞，-2）；
（2）∵

x+2

x+1

＞0，
∴x＜-2或x＞-1，
a＞1时，f（x）=log_a

x+2

x+1

=log a(1+

1

x+1

)，
∴原函数的单调减区间是（-∞，-2），（-1，+∞）；
（3）当a=2，f（x）=log 2

x+2

x+1

=log 2(1+

1

x+1

)，
当x∈[-

15

7

，-2）∪（-1，0]，
∴1+

1

x+1

∈（0，

1

8

]∪[2，+∞），
∴函数的值域是：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查对数不等式、复合函数的单调性及其值域．