Question

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当λ=时，数列{a_n}中是否存在三项成等差数列，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0①
1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0②
由②-①得（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，
∴，
故数列{a_n}从第二项开始为等比数列…（3分）
将n=1代入①式，
∴n≥2时，
∴数列{a_n}的通项…（6分）
（2）∵，
∴
∵假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列
①不妨设当m＞k＞p≥2，
∵当n≥2时，数列{a_n}单调递增，
∴2a_k=a_m+a_p，
∴，
∴2•4^k-p=4^m-p+1，
由上式知：左边=偶数≠右边=奇数，
∴当n≥2时，数列{a_n}不存在三项成等差数列．…（9分）
②假设存在成等差数列的三项中包含a₁时
不妨设m=1，k＞p≥2且a_k＞a_p，
∵当n≥2时，a_n＞a₁，
∴2a_p=a₁+a_k，
∴，
∴2•4^p-2=-2+4^k-2，
∴2^（2p-3）=2^2（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴当且仅当k=3，p=2时成立，
∴数列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差数列．…（12分）
分析：（1）由题意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0，则1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0，故（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，所以，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，知，假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列．由此入手能够导出数列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差数列．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a_n}中是否存在三项成等差数列．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．