Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，利用三角形的中位线定理，结合线面平行的判定定理，可得MQ∥平面PCD，同理NQ∥平面PCD，从而得到平面MNQ∥平面PCD，最后用面面平行的性质，可得MN∥平面PCD；
（2）根据题意，不难得到三棱锥P-ABC的底面积为

1

2

，高PD=1，利用锥体体积公式可得三棱锥P-ABC的体积．

解答：解：（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ
∵△PBA中，M、Q分别为PA、PB的中点，
∴MQ∥AB，结合AB∥CD得MQ∥CD
∵MQ?平面PCD，CD⊆平面PCD，
∴MQ∥平面PCD，同理可得NQ∥平面PCD，
∵MQ、NQ是平面MNQ内的相交直线
∴平面MNQ∥平面PCD，
∵NM⊆平面MNQ
∴MN∥平面PCD；
（2）∵正方形ABCD的边长等于1
∴三角形ACB的面积为S_△ABC=

1

2

S_ABCD=

1

2

．
又∵PD⊥底面ABCD，且PD=1，
∴三棱锥P-ABC的高为1，因此三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC•PD=

1

6

．

点评：本题以一条侧棱垂直于底面的四棱锥为例，考查了线面平行的判定、面面平行的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．