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若直线l:x=my+n(n>0)过点A(4,4
3
),若可行域
x≤my+n
3
x-y≥0
y≥0
的外接圆的面积为
64π
3
,则实数n的值为(  )
A、8B、7C、6D、9
分析:由直线l:x=my+n(n>0)和直线
3
x-y=0
均过点A(4,4
3
)作出可行域,由三角形外接圆的面积求出外接圆的半径,由正弦定理求得|AB|,然后由两点间的距离公式求得n的值.
解答:解:设l:x=my+n(n>0)与x轴的交点为B(n,0),
∵直线l:x=my+n(n>0)过点A(4,4
3
),
3
x-y=0
也过点A(4,4
3
),
∴直线l:x=my+n(n>0)经过一、二、四象限,∴m<0.
∴可行域为△OAB,且∠AOB=60°,如图,
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∵可行域
x≤my+n
3
x-y≥0
y≥0
的外接圆的面积为
64π
3

∴△OAB外接圆的直径为
16
3
3

由正弦定理得:
AB
sin60°
=2R=
16
3
3

∴AB=
16
3
3
×
3
2
=8

由两点间的距离公式得:
(4-n)2+(4
3
)2
=8

解得:n=0(舍)或n=8.
故选:A.
点评:本题考查了二元一次不等式的几何意义,是简单的线性规划问题,解答的关键是正确作出可行域,考查了正弦定理在解三角形中的应用,是中档题.
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1
2
]∪[2,+∞)
(-∞,
1
2
]∪[2,+∞)

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