Question

若直线l：x=my+n（n＞0）过点A（4，4

3

），若可行域

x≤my+n 3 x-y≥0 y≥0

的外接圆的面积为

64π

3

，则实数n的值为（　　）

• A、8
• B、7
• C、6
• D、9

Answer 1

分析：由直线l：x=my+n（n＞0）和直线

3

x-y=0均过点A（4，4

3

）作出可行域，由三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，由正弦定理求得|AB|，然后由两点间的距离公式求得n的值．

解答：解：设l：x=my+n（n＞0）与x轴的交点为B（n，0），
∵直线l：x=my+n（n＞0）过点A（4，4

3

），

3

x-y=0也过点A（4，4

3

），
∴直线l：x=my+n（n＞0）经过一、二、四象限，∴m＜0．
∴可行域为△OAB，且∠AOB=60°，如图，

∵可行域

x≤my+n 3 x-y≥0 y≥0

的外接圆的面积为

64π

3

，
∴△OAB外接圆的直径为

16 3

3

．
由正弦定理得：

AB

sin60°

=2R=

16 3

3

，
∴AB=

16 3

3

×

3

2

=8．
由两点间的距离公式得：

(4-n)2+(4 3 )2

=8，
解得：n=0（舍）或n=8．
故选：A．

点评：本题考查了二元一次不等式的几何意义，是简单的线性规划问题，解答的关键是正确作出可行域，考查了正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．