Question

已知函数f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），给出下列命题：
①a=1时，f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（1，+∞）；
②f（x）有最小值；
③当a=0时，f（x）的值域为R；
④若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[-4，+∞）．
其中正确结论的序号是________．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

①③
分析：由已知中函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），我们易判断出其真数部分的范围，结合对数函数的性质可判断①、②③的真假，再由复合函数单调性的判断方法及函数的定义域，可判断④的对错．进而得到结论．
解答：①a=1时，f（x）=lg（x²+x-2），由x²+x-2＞0可得x＜-2或x＞1，∴f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（1，+∞），即①正确；
②∵u=x²+ax-a-1的最小值为-（a²+4a+4）≤0，∴函数f（x）的值域为R，函数f（x）无最小值，故②错误；
③当a=0时，f（x）=lg（x²-1），由于真数x²-1可以取全体正数，故函数的值域是R，即③正确；
④若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则-≤2，且4+2a-a-1＞0解得a＞-3，故④错误；
综上，正确结论的序号为①③
故答案为：①③
点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点、对数函数的定义和值域及复合函数的单调性，是一道函数的综合应用题．