Question

已知关于x的一元二次方程x²-2（a-2）-b²+16=0．
（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，
满足条件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}，求出两者的面积，即可得到概率．

解答：解：设“方程有两个正根”的事件为A，
（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，
二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有两正根，等价于

a-2＞0 16-b2＞0 △=4(a-2)2+4(b2-16)≥0

，即

a＞2 -4＜b＜4 (a-2)2+b2≥16

，
则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个
∴所求的概率为P（A）=

1

9

；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，
其面积为S（Ω）=12
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a-2）²+b²＜16}，如图中阴影部分所示，
其面积为S（B）=

1

2

×

π

6

×4×4+

1

2

×2×

42-22

=

4π

3

+2

3

∴所求的概率P（B）=

2π+3 3

18

．

点评：本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．