Question

设y=2x²+2ax+b（x∈R），已知当x=

1

2

时y有最小值-8．
（1）试求不等式y＞0的解集；
（2）集合B={x||x-t|≤

1

2

，x∈R}，且A∩B=∅，确定实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由当x=

1

2

时y有最小值-8得出函数的解析式，即：y=2（x-

1

2

^）2-8，再结合一元二次不等式求解即得；
（2）由（1）得集合A，再求出和B中不等式的解集，根据两集合的交集为空集，列出关于t的不等式组，求出不等式组的解集即可得到t的取值范围．

解答：解：（1）由当x=

1

2

时y有最小值-8
得：y=2（x-

1

2

^）2-8
可化为：y=2x²-x-

15

2

不等式y＞0即2（x-

1

2

^）2-8＞0．
解得：x＞

5

2

或x＜-

3

2

（2）∵B={x||x-t|≤

1

2

，x∈R}={x|t-

1

2

≤x≤t+

1

2

}
因为A∩B=∅，所以得到：

t- 1 2 ≥- 3 2 t+ 1 2 ≤ 5 2

，
解得：-1≤t≤2，
所以是实数t的取值范围是：[1，2]．

点评：此题要求学生掌握交集、空集的定义及性质，是一道基础题．