Question

平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，则f（n）的表达式为（ ）
A．2n
B．2ⁿ
C．n²-n+2
D．2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）

Answer 1

【答案】分析：我们由两个圆相交将平面分为4分，三个圆相交将平面分为8份，四个圆相交将平面分为14部分，我们进行归纳推理，易得到结论．
解答：解：∵一个圆将平面分为2份，即f（1）=2，
两个圆相交将平面分为4=2+2份，即f（2）=2+2，
三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，即f（3）=2+2×3，
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，即f（4）=2+3×4，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
故选C．
点评：本题主要考查了进行简单的合情推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．