Question

【题目】已知是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径，是底面圆周上一点，，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

（1）求与底面所成的角；

（2）求该几何体的体积；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）设O为BD的中点，连接CO，AO，则∠ACO为AC与底面所成的角，根据几何法，即可求解；

（2）该几何体可看作是半个圆锥和三棱锥组合而成，可分别计算体积，再求和；

（3）取DC的中点E，连接OE，AE，则有OE⊥CD，且AE⊥CD，则∠AEO为二面角的平面角，根据几何法，即可求解二面角.

（1）设O为BD的中点，连接CO，AO，

则∠ACO为AC与底面所成的角，

由AC＝BD＝AD＝AB＝2，所以三角形ABD为正三角形，AO，

有CO＝1，所以，

∠ACO＝60°，AC与底面所成的角为60°；

（2）由题意∠CBD＝60°，

故，

所以该几何体的体积；

（3）取DC的中点E，连接OE，AE，

因为OC＝OD，所以OE⊥CD，

同理AE⊥CD，

则∠AEO为二面角的平面角，

因为OC＝OB＝BC＝1，

所以正三角形OBC，∠BOC＝60°，∠COD＝120°，∠OCD＝30°，

所以OE，，

所以，

所以二面角的余弦值为