Question

8．设M=a+$\frac{1}{a-2}$（2＜a＜3），$N=x（4\sqrt{3}-3x）（0＜x＜\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$，则M，N的大小关系为M＞N．

Answer 1

分析 由于M=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2（2＜a＜3）在（2，3）上单调递减，可得M＞4，利用基本不等式可求得N的范围，从而可比较二者的大小．

解答 解：∵M=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2，
而0＜a-2＜1，
又∵y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上单调递减，
∴M在（2，3）上单调递减，
∴M＞（3-2）+$\frac{1}{3-2}$+2=4；
又0＜x＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴0＜N=x（4-3x）=$\frac{1}{3}$•3x（4-3x）≤$\frac{1}{3}$[$\frac{3x+（4-3x）}{2}$]²=$\frac{4}{3}$．
∴M＞N
故答案为：M＞N．

点评 本题考查双钩函数函数的性质及基本不等式，关键在于合理转化，利用基本不等式解决问题，考查综合运用数学知识的能力，属于中档题．