Question

8．已知函数f（x）=2sin²x+sin2x-1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设$f（{\frac{x_0}{2}}）=cos（{\frac{π}{6}+α}）cos（{\frac{π}{6}-α}）+{sin^2}α$，其中0＜x₀＜π，求tanx₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=2sin²x+sin2x-1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z；
（2）cos（$\frac{π}{6}$+α）cos（$\frac{π}{6}$-α）+sin²α=（cos$\frac{π}{6}$cosα）²-（sin$\frac{π}{6}$sinα）²+sin²α=$\frac{3}{4}$cos²α-$\frac{1}{4}$sin²α+sin²α=$\frac{3}{4}$，
即f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x₀-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
即sinx₀-cosx₀=$\frac{3}{4}$，①
平方得2sinx₀cosx₀=$\frac{7}{16}$，
∵0＜x₀＜π，
∴cosx₀＞0，
则sinx₀+cosx₀=$\sqrt{1+2sin{x}_{0}cos{x}_{0}}$=$\frac{\sqrt{23}}{4}$②，
由①②得sinx₀=$\frac{3+\sqrt{23}}{8}$，cosx₀=$\frac{\sqrt{23}-3}{8}$，
则tanx₀=$\frac{\sqrt{23}+3}{\sqrt{23}-3}$=$\frac{16+3\sqrt{23}}{7}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简以及利用三角函数的同角的基本关系式是解决本题的关键．