【题目】已知函数,其中
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数在定义域上有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(3)若对任意恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)先求 切线方程
(2)求导得
,令
,再分
和
三种情况讨论,借助导数工具求得正解;(3)利用分类讨论思想分
和
三种情况讨论,借助导数工具求得正解;
试题解析:(1)当则
又则切线的斜率
,
所以函数在
处的切线方程为
.
(2),
,则
,
令,
①若,则
,故
,函数
在
上单调递增,所以函数
在
上无极值点,故
不符题意,舍去;
②若,
,该二次函数开口向下,对称轴
,
,
所以在
上有且仅有一根
,故
,
且当时,
,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,
,函数
在
上单调递减;
所以时,函数
在定义域上有且仅有一个极值点
,符合题意;
③若,
,该二次函数开口向上,对称轴
.
(ⅰ)若,即
,
,故
,函数
在
上单调递增,所以函数
在
上无极值点,故
不符题意,舍去;
(ⅱ)若,即
,又
,所以方程
在
上有两根
,
,故
,且
当时,
,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,
,函数
在
上单调递增;
所以函数在
上有两个不同的极值点,故
不符题意,舍去,
综上所述,实数的取值范围是
.
(3)由(2)可知,
①当时,函数
在
上单调递增,所以当
时,
,符合题意,
②当时,
,
(ⅰ)若,即
,函数
在
上单调递减,故
,不符题意,舍去,
(ⅱ)若,即
,故函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
当时,
(事实上,令
,
,则
,函数
在
上单调递减,所以
,即
对任意
恒成立.)
所以存在,使得
,故
不符题意,舍去;
③当时,
,函数
在
上单调递增,所以当
时,
,符合题意.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】已知数列{an}中,a1=3,a10=21,通项an相应的函数是一次函数.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若{bn}是由a2,a4,a6,a8,…组成,试求数列{bn}的通项公式.
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【题目】判断下列集合间的关系:
(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0};
(2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,它在点
处的切线为直线
.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点为椭圆
上一点,求点
到直线
的距离的取值范围.
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【题目】在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0. 若B的坐标为(1,2),求△ABC三边所在直线方程及点C坐标.
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【题目】如图,抛物线的焦点为
,抛物线上一定点
.
(1)求抛物线的方程及准线
的方程;
(2)过焦点的直线(不经过
点)与抛物线交于
两点,与准线
交于点
,记
的斜率分别为
,问是否存在常数
,使得
成立?若存在
,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】
周销售量(单位:吨) | 2 | 3 | 4 |
频数 | 20 | 50 | 30 |
⑴ 根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
⑵ 已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求
的分布列和数学期望.
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