Question

15．已知函数f（x）=4sin²（x+$\frac{π}{4}$）-2$\sqrt{3}$cos2x+1，且给定条件p：$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，又给定条件q：|f（x）-m|＜2，且p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-2，2）
• B． （5，7）
• C． （3，5）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 先根据两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，再结合正弦函数的性质可求出m的范围，再根据|f（x）-m|＜2求出f（x）的范围，再由p是q的充分条件和（1）中f（x）的最大、最小值可得到m的范围即可．

解答 解：∵f（x）=2[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+3
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3．
又∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
即5≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3≤7，
∴f（x）_max=7，f（x）_min=5，
∴P：m∈[5，7]；
∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2
又p是q的充分条件
∵$\left\{\begin{array}{l}{m-2＜5}\\{m+2＞7}\end{array}\right.$，
∴5＜m＜7．
故选：B．

点评 本题主要考查两角和与差的公式的应用和正弦函数的性质．高考中对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意对基础知识的积累和运用的灵活性的锻炼．