Question

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R，定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，求出实数m的值，并求出等差数列的公差；若不存在，请说明理由．
（3）若正数数列{b_n}满足：b₁=1，bn+1=2f(

bn

)-2m（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞2010成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）令m=1，代入确定出f（x）的解析式，由a₁=0，a_n+1=f（a_n），令n=2即可求出a₂的值，然后由a₂的值，a_n+1=f（a_n），令n=3即可求出a₃的值，同理得到a₄的值；
（2）由（1）的方法分别表示出a₂，a₃及a₄，根据等差数列的性质列出关于m的方程，根据m=0得到三项都为0，不合题意，故当m不等于0，所以当m不为0时，方程两边除以m，得到关于m的一元二次方程，求出方程的解即可得到m的值，确定出三项的值，用后一项减去前一项即可求出对应的公差d的值；
（3）由b₁=1，bn+1=2f(

bn

)-2m（n∈N*），根据f（x）的解析式，求出b_n+1与b_n的关系式，从而确定出正数数列{b_n}是以1为首相，2为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式表示出S_n，代入不等式中即可求出正整数n的最小值．

解答：解：（1）m=1时，f（x）=x²+1，因为a₁=0，
所以a₂=f（a₁）=f（0）=1，a₃=f（a₂）=2，a₄=f（a₃）=5；（（3分），每求对一项得1分）
（2）f（x）=x²+m，则a₂=m，a₃=m²+m，a₄=（m²+m）²+m=m⁴+2m³+m²+m，（5分）
如果a₂，a₃，a₄成等差数列，
则m²+m-m=（m⁴+2m³+m²+m）-（m²+m），m⁴+2m³-m²=0，（6分）
若m=0，则a₂=a₃=a₄=0，不合题意，
故m≠0．所以，m²+2m-1=0，所以m=

-2± 8

2

=-1±

2

．（8分）
当m=-1+

2

时，公差d=a₃-a₂=m²+m-m=m²=3-2

2

，（9分）
当m=-1-

2

时，公差d=m2=3+2

2

；（10分）
（3）b₁=1，b_n+1=2（b_n+m）-2m=2b_n，（12分）
所以{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
则S_n=2ⁿ-1＞2010，即2ⁿ＞2011，解得n＞10．（15分）
所以，使S_n＞2010成立的最小正整数n的值为11．（16分）

点评：此题考查了数列的递推式，等比数列的前n项和及确定方法，以及等差数列的性质．学生求m时注意把m=0这种情况舍去．