Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（1）先由原函数式反解出2^x，再利用2^x的取值范围建立关于y的不等关系，解不等式即可；
（2）分别利用函数奇偶性和单调性的定义求解即可，对于奇偶性的判断，只须考虑f（-x）与f（x）的关系即得；对于单调性的证明，先在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比较f（x₁）-f（x₂）即可；
（3）先依据函数y=f（x）在R上单调性化掉符号：“f”，将问题转化为关于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，（2分）
又2^x＞0，∴-1＜y＜1
∴函数f（x）的值域为（-1，1）（4分）
（2）证明：①∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，（6分）
∴函数f（x）为奇函数（7分）
②f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，（8分）
则f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

（10分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0（11分）
∴函数f（x）在R上为单调增函数（12分）
（3）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1（14分）
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）（16分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．