Question

已知椭圆C₁：=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

Answer 1

【答案】分析：先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a²-b²=5；设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得：；对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2x，根据C₁恰好将线段AB三等分得：2x=，从而可解出a²，b²的值，故可得结论
解答：解：由题意，C₂的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c=，于是得a²-b²=5   ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得：②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2x，
由题得：2x=，所以    ③
由②③得a²=11b²  ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5  
故选C
点评：本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．