Question

已知A、B、C为△ABC的三个内角，设f（A，B）=sin²2A+cos²2B-

3

sin2A-cos2B+2．
（1）当f（A，B）取得最小值时，求C的大小；
（2）当C=

π

2

时，记h（A）=f（A，B），试求h（A）的表达式及定义域；
（3）在（2）的条件下，是否存在向量

p

，使得函数h（A）的图象按向量

p

平移后得到函数g（A）=2cos2A的图象？若存在，求出向量

p

的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先对已知函数进行配方，结合完全平方数可求当）当f（A，B）取得最小值时，A，B的大小，进而可求C的大小
（2）由（1）中C可求A+B，代入h（A）=f（A，B），结合诱导公式及辅助角公式对已知函数进行化简，可求
（3）由（2）可求函数h（A）的单调区间，及函数g（A）=2cos2A在相应区间上单调性，根据其单调性是否相同即可判断

解答：解：（1）配方得f （A，B）=（sin2A-

3

2

）²+（cos2B-

1

2

）²+1，
∴[f （A，B）]_min=1，当且仅当

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

时取得最小值．
在△ABC中，

sin2A= 3 2 cos2B= 1 2

?

A= π 6 B= π 6

 或

A= π 3 B= π 6

故C=

2π

3

或

π

2

．…（6分）
（2）C=

π

2

?A+B=

π

2

，
于是h（A）=f(A，B)=sin22A+cos22B-

3

sin2A-cos2B+2
=sin22A+cos22[

π

2

-A]-

3

sin2A-cos2[

π

2

-A]+2
=cos2A-

3

sin2A+3
=2cos（2A+

π

3

）+3．
∵A+B=

π

2

，∴0＜A＜

π

2

．…（11分）
（3）∵函数h（A）在区间(0，  

π

3

]上是减函数，在区间[

π

3

，  

π

2

)上是增函数；而函数g（A）=2cos2A在区间(0，  

π

2

)上是减函数．
∴函数h（A）的图象与函数g（A）=2cos2A的图象不相同，从而不存在满足条件的向量

p

…（16分）

点评：本题综合考查了三角函数的诱导公式及辅助角公式及三角函数的单调性等 知识的综合应用，解答本题要求考生具备综合应用知识的能力