Question

【题目】已知函数f（x）=emx+x2﹣mx（m∈R）．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若m＜0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直．
（i）当x＞0时，试比较f（x）与f（﹣x）的大小；
（ii）若对任意x1 ， x2（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=1时，f′（x）=ex+2x﹣1=（ex﹣1）+2x，

若x＞0，则ex﹣1＞0，f′（x）＞0，

若x＜0，则ex﹣1＜0，f′（x）＜0，

综上，f（x）在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减；

（2）解：∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直，

且f′（x）=m（emx﹣1）+2x，∴f′（1）=mem+2﹣m=e+1，

故mem﹣m=e﹣1，令h（m）=mem﹣m﹣e﹣1，

则h′（m）=em+mem﹣1，∵m＞0，∴h′（m）＞0，

∵h（1）=0，∴m＞0，方程mem﹣m=e﹣1有唯一解m=1，

（i）当x＞0时，

令g（x）=f（x）﹣f（﹣x）=ex﹣e﹣x﹣2x，

则g′（x）=ex+e﹣x﹣2＞2﹣2=0，

∴g（x）在x＞0时递增，即g（x）＞g（0）=0，

故x＞0时，f（x）＞f（﹣x），

（ii）若对任意x1，x2（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），

由（1）得：x1，x2必一正一负，

不妨设x1＜0＜x2，由（i）得：f（x1）﹣f（x2）＞f（﹣x2），

而由（1）得：m=1时，函数f（x）在（﹣∞，0）递减，

∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．

【解析】（1）将m=1代入f（x），求出f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；（2）求出f（x）的导数，得到mem﹣m=e﹣1，令h（m）=mem﹣m﹣e﹣1，求出h（m）的导数，得到m的值；（i）根据做差法判断即可；（ii）问题转化为f（x1）﹣f（x2）＞f（﹣x2），根据函数的单调性判断即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．