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已知直线l为椭圆x2+4y2=4的切线,并与坐标轴交于A、B两点,试求|AB|的最小值;若椭圆和圆C:(x-1)2+y2=r2永远相交,试求r的最小值和最大值.

答案:
解析:

  解:设切线方程为y=kx+m,由

  (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.

  由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,得m2=4k2+1,

  由A(0,m),B(,0)得|AB|2+4k2+5≥9,

  ∴|AB|的最小值为3.

  由

  又∵-2≤x≤2,∴当x=时,

  r最小为,当x=-2时,r最大为3,

  即|AB|的最小值为3;所求r的最小值为,r的最大值为3.


提示:

求两曲线的交点坐标可由方程组的解得到.利用抛物线定义,抛物线上的点到焦点的距离可转化为到准线的距离,得到d=y1+y2+2,欲求d的最值,需表示出y1+y2,自然联想到韦达定理,从而设出l的方程与抛物线方程组成方程组求解.解题时要充分挖掘题中的隐含条件,并利用好图形帮助分析解题的途径.


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