Question

【题目】已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明

【解析】

（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；

（2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可；

（3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.

解：（1）因为，所以，

①当时，，函数在区间上单调递增；

②当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.

即当时，恒成立.

令，则.

显然当时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

∴时取最小值.

所以实数的取值范围是

（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，

即（等号当且仅当时成立）

令，则，即

故