Question

如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，已知A（-1，-2）、B（2，3）、D（-2，-1）．
（1）分别求两条对角线AC，BD的长度；
（2）若向量

AB

-t

OD

与

OD

垂直，求实数t的值．

Answer 1

分析：（1）设C（x，y），由A（-1，-2）、B（2，3）、D（-2，-1），知

AB

=(3，5)，

DC

=(x+2，y+1)，由四边形ABCD是平行四边形，知

AB

=

DC

，解得C（1，4）．由此能求出两条对角线AC，BD的长度．
（2）由

AB

-t

OD

=（3，5）-（-2t，-t）=（3+2t，5+t），

OD

=（-2，-1），向量

AB

-t

OD

与

OD

垂直，知（3+2t，5+t）•（-2，-1）=0，由此能求出t．

解答：解：（1）设C（x，y），
∵A（-1，-2）、B（2，3）、D（-2，-1），
∴

AB

=(3，5)，

DC

=(x+2，y+1)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴

AB

=

DC

，
∴

x+2=3 y+1=5

，解得x=1，y=4．即C（1，4）．
∴

AC

=（2，6），AC的长度|

AC

| =

4+36

=2

10

，

BD

=(-4，-4)，BD的长度|

BD

| =

16+16

=4

2

．
（2）∵

AB

-t

OD

=（3，5）-（-2t，-t）=（3+2t，5+t），

OD

=（-2，-1），
向量

AB

-t

OD

与

OD

垂直，
∴（3+2t，5+t）•（-2，-1）=0，
即-6-4t-5-t=0，
从而5t=-11，所以t=-

11

5

．

点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个向量垂直的关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．