练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2012•孝感模拟）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
    （1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为
    （1，1）
    （1，1）
    ．
    （2）若函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    1
    x-
    1
    2
    ，则g（
    1
    2011
    ）+g（
    2
    2011
    ）+g（
    3
    2011
    ）+g（
    4
    2011
    ）+…+g（
    2010
    2011
    ）=
    2010
    2010
    ．
    分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心．
    （2）令h（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，m（x）=
    2
    2x-1
    ，则g（x）=h（x）+m（x）．利用对称性求得h（
    1
    2011
    ）+h（
    2
    2011
    ）+h（
    3
    2011
    ）+h（
    4
    2011
    ）+…+h（
    2010
    2011
    ）=2010，求得m（
    1
    2011
    ）+m（
    2
    2011
    ）+m（
    3
    2011
    ）+m（
    4
    2011
    ）+…+m（
    2010
    2011
    ）=0，从而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．
    解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
    令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
    故答案为 （1，1）．
    （2）若函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    1
    x-
    1
    2
    =
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    +
    2
    2x-1
    ，令h（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，m（x）=
    2
    2x-1
    ，则g（x）=h（x）+m（x）．
     则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
    1
    2
    ，故h（x）的对称中心为（
    1
    2
    ，1）．
    设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
    1
    2
    ，1）的对称点P′（1-x0，2-y0）也在曲线上，
    ∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
    ∴h（
    1
    2011
    ）+h（
    2
    2011
    ）+h（
    3
    2011
    ）+h（
    4
    2011
    ）+…+h（
    2010
    2011
    ）
    =[h（
    1
    2011
    ）+h（
    2010
    2011
    ）]+[h（
    2
    2011
    ）+h（
    2009
    2011
    ）]+[h（
    3
    2011
    ）+h（
    2008
    2011
    ）]+…+[h（
    1005
    2011
    ）+h（
    1006
    2011
    ）]=1005×2=2010．
    由于函数m（x）=
    2
    2x-1
    的对称中心为（
    1
    2
    ，0），可得m（x0）+m（1-x0）=0．
    ∴m（
    1
    2011
    ）+m（
    2
    2011
    ）+m（
    3
    2011
    ）+m（
    4
    2011
    ）+…+m（
    2010
    2011
    ）
    =[m（
    1
    2011
    ）+m（
    2010
    2011
    ）]+[m（
    2
    2011
    ）+m（
    2009
    2011
    ）]+[m（
    3
    2011
    ）+m（
    2008
    2011
    ）]+…+[m（
    1005
    2011
    ）+m（
    1006
    2011
    ）]=1005×0=0．
    ∴g（
    1
    2011
    ）+g（
    2
    2011
    ）+g（
    3
    2011
    ）+g（
    4
    2011
    ）+…+g（
    2010
    2011
    ）=h（
    1
    2011
    ）+h（
    2
    2011
    ）+h（
    3
    2011
    ）+h（
    4
    2011
    ）+…+h（
    2010
    2011
    ）
    +m（
    1
    2011
    ）+m（
    2
    2011
    ）+m（
    3
    2011
    ）+m（
    4
    2011
    ）+…+m（
    2010
    2011
    ）
    =2010+0=2010，
    故答案为2010．
    点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•孝感模拟）已知cos（α+
    π
    6
    ）-sinα=
    2
    		3
    3
    ，则sin（α-
    7π
    6
    ）的值是
    2
    3
    2
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•孝感模拟）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百件）时，销售所得的收入为(5t-
    12
    t2)    万元．
    （1）该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）．
    （2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•孝感模拟）在△ABC中，∠A=90°，且
    AB
    •
    BC
    =-1，则边AB的长为
    1
    1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•孝感模拟）如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•孝感模拟）某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如右图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：
    （I ）求7O～80分数段的学生人数；
    （II）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）；
    （III）现根据本次考试分数分成的六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组），为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案