Question

如图过抛物线C1：x2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，点Q是P关于原点的对称点，以P，Q为焦点的椭圆为C₂．
（1）求证：x₁x₂为定值；
（2）若l的方程为x-2y+4=0，且C₁，C₂以及直线l有公共点，求C₂的方程；
（3）设

AP

=λ

PB

，若

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，求证：λ=μ

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=kx+m，联立

x2=4y y=kx+m

，得x²-4kx-4m=0，由此能够证明x₁x₂=-4m．
（2）由l的方程为x-2y+4=0，知m=2，由点Q是P关于原点的对称点，知P（0，2），Q（0，-2），联立

x2=4y x-2y+4=0

，得A（-2，1），B（4，4），由C₁，C₂以及直线l有公共点，知C₁，C₂以及直线l的公共点为A（-2，1），由此能求出椭圆为C₂的方程．
（3）由

AP

=λ

PB

，知

x1

x2

=-λ，因为Q(0，-m)，

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)所以

QA

-μ

QB

=(x1-μx2，y1-μy2+(1-μ)m)，由此能够证明λ=μ．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=kx+m，
联立

x2=4y y=kx+m

，得x²-4kx-4m=0，
∵直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴x₁x₂=-4m．
（2）∵l的方程为x-2y+4=0，∴m=2，
∵点Q是P关于原点的对称点，
∴P（0，2），Q（0，-2），
联立

x2=4y x-2y+4=0

，得A（-2，1），B（4，4），
∵C₁，C₂以及直线l有公共点，
∴C₁，C₂以及直线l的公共点为A（-2，1），
∵P，Q为焦点的椭圆为C₂，∴设椭圆为C₂的方程为

x2

a2-4

+

y2

a2

 =1．
由C₁，C₂以及直线l的公共点为A（-2，1），
知2a=

4+1

+

4+9

=

5

+

13

，
∴a2=

18+2 65

4

，
∴椭圆为C₂的方程为

2x2

1+ 65

+

2y2

9+ 65

=1．
（3）由

AP

=λ

PB

，则

x1

x2

=-λ，
因为Q(0，-m)，

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)
所以

QA

-μ

QB

=(x1-μx2，y1-μy2+(1-μ)m)，

QP

=(0，2m)，

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
从而

x 2 1

4

-μ

x 2 2

4

+(1-μ)m=0，
即

x

2 1

-μ

x

2 2

+4(1-μ)m=0

x

2 1

-μ

x

2 2

-(1-μ)x1x2=0，

x1

x2

-μ

x2

x1

-(1-μ)=0，
故

x1

x2

=-μ或

x1

x2

=-1（舍去）
故λ=μ．

点评：本题考查x₁x₂为定值的证明，求椭圆C₂的方程和求证：λ=μ．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．