Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥

4

5

c．求双曲线的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：直线l的方程是bx+ay-ab=0．点（1，0）到直线l的距离d1=

b(a-1)

a2+b2

，点（-1，0）到直线l的距离d2=

b(a+1)

a2+b2

，s=d1+d2=

2ab

a2+b2

=

2ab

c

．由S≥

4

5

c知5a

c2-a2

≥2c2．所以4e⁴-25e²+25≤0．由此可知e的取值范围．

解答：解：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=

b(a-1)

a2+b2

，
同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2=

b(a+1)

a2+b2

s=d1+d2=

2ab

a2+b2

=

2ab

c

．
由s≥

4

5

c，得

2ab

c

≥

4

5

c，即5a

c2-a2

≥2c2．
于是得5

e2-1

≥2e2，即4e⁴-25e²+25≤0．解不等式，得

5

4

≤e2≤5．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范围是

5

2

≤e≤

5

．

点评：本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．